Rozdíl mezi komutativními a asociativními

Matematika je hra čísel a čísel je všude. A pravidlem hry jsou vlastnosti a pravidla spojená s čísly. Vlastnosti vám pomohou rychle a snadno vypočítat odpovědi v hlavě. Vlastnosti nejsou nic jiného než speciální pravidla, která čísla následují. Každý matematický systém se řídí třemi základními vlastnostmi čísel: komutativní, asociativní a distribuční vlastnosti. Tyto vlastnosti jsou rysy čtyř operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení), které se vždy použijí bez ohledu na číslo, se kterým pracujete. V následujícím článku však probereme pouze komutativní a asociativní vlastnosti.

Komutativní i asociativní vlastnosti jsou pravidla použitá pro operace sčítání a násobení. Tyto vlastnosti jsou zákony používané v algebře k řešení problémů. Komutativní vlastnost pochází z pojmu „dojíždění“, což znamená pohybovat se a znamená to, že je možné přepínat čísla, která přidáváte nebo znásobujete. Asociativní vlastnost pochází ze slova „přidružený“ nebo „skupina“ a týká se seskupení tří nebo více čísel pomocí závorek, bez ohledu na to, jak je seskupíte. Výsledek zůstává stejný bez ohledu na to, jak čísla přeskupíte. Pojďme se podívat na tyto dvě vlastnosti, abychom lépe porozuměli tomu, jak fungují.

Co je komutativní?

Například; víme, že přidání 2 a 5 dává stejnou odpověď jako přidání 5 a 2. Pořadí čísel v problému s přidáváním lze změnit beze změny výsledku. Tato věc o číslech a sčítání se nazývá komutativní vlastnost sčítání. Můžeme tedy říci, že sčítání je komutativní operace. Podobně je násobení komutativní operací.

Komutativní vlastnost sčítání:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 je stejné jako 4 + 3 = 7

Výsledek bude stejný bez ohledu na pořadí čísel.

Komutativní vlastnost násobení:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 je stejné jako 7 × 3 = 21

Stejně tak bude výsledek stejný bez ohledu na pořadí čísel.

Co je asociativní?

Asociativní je další vlastnost, kterou používáme, má co do činění s přeskupením. Například, když přidáme 2 + 3 + 5, můžeme buď přidat 2 a 3 nejprve a pak přidat 5, nebo můžeme přidat 3 a 5 nejprve a pak 2. Matematicky to vypadá takto: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operace, které se chovají tímto způsobem, se nazývají asociativní operace. Výsledek zůstává stejný, i když změníme seskupení čísel.

Asociativní vlastnost sčítání:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Výsledek zůstává stejný, bez ohledu na to, jak čísla seskupíte.

Asociativní vlastnost násobení:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Seskupení čísel tedy výsledek nezmění.

Rozdíl mezi komutativními a asociativními

Význam

- Komutativní vlastnost pochází z pojmu „dojíždění“, což znamená „pohybovat se“ a týká se možnosti přepínat čísla, která přidáváte nebo znásobujete, bez ohledu na pořadí čísel. Asociativní vlastnost naopak pochází ze slova „přidružený“ nebo „skupina“ a týká se seskupení tří nebo více čísel pomocí závorek, bez ohledu na to, jak je seskupíte. Výsledek bude stejný bez ohledu na to, jak přeskupíte čísla nebo proměnné.

Pravidlo

- Komutativní pravidlo adičních stavů, a + b = b + a, což znamená přidání a a b dává stejný výsledek jako přidání b a a. Objednávky lze měnit beze změny výsledku. Toto pravidlo přidání se nazývá komutativní vlastnost přidání. Podobně násobení je komutativní operace, což znamená, že a × b poskytne stejný výsledek jako b × a. Asociativní vlastnost je na druhé straně pravidlem, které se týká seskupování čísel. Asociativní pravidlo stavů sčítání, a + (b + c) je stejné jako (a + b) + c. Podobně asociativní pravidlo násobení říká, že a × (b × c) je stejné jako (a × b) × c.

Příklad

- Komutativní vlastnost sčítání: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Komutativní vlastnost násobení: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Asociativní vlastnost adice: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Asociativní vlastnost násobení: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Komutativní vs. asociativní: srovnávací tabulka

souhrn

Stručně řečeno, komutativní vlastnost se nesmí zaměňovat s asociativní vlastností. Komutativní vlastnost uvádí, že je v pořádku změnit pořadí čísel kromě operací násobení a násobení, protože výsledek bude stejný bez ohledu na pořadí. Asociativní vlastnost, na druhé straně, uvádí, že výsledek bude stejný, bez ohledu na to, jak seskupíte číslo nebo proměnné v operacích sčítání / násobení.