Rozdíl mezi spojením a průnikem

Předtím, než pochopíme rozdíl mezi spojením a průnikem dvou operátorů, pojďme nejprve pochopit pojem teorie množin. Teorie množin je základní odvětví matematiky, které studuje množiny, zejména zda objekt patří nebo nepatří k sadě objektů, které jsou nějakým způsobem relevantní matematikou. Sada je v podstatě soubor dobře definovaných objektů, které mohou nebo nemusí mít matematický význam, jako jsou čísla nebo funkce. Objekty v sadě se nazývají prvky, které mohou být cokoli, jako jsou čísla, lidé, auta, stavy atd. Téměř cokoli a libovolný počet prvků lze shromáždit dohromady a vytvořit tak sadu.

Zjednodušeně řečeno, množina je kolekce libovolného počtu neuspořádaných prvků, které lze považovat za jediný objekt jako celek. Pojďme porozumět základním pojmům a zápisu množiny a jak je reprezentována. Všechno to začíná binárním vztahem mezi objektem x a množinou A. Pro reprezentaci, zda x je členem množiny A, se používá notace x ∊ A, zatímco x ∉ A označuje, že objekt x nepatří do sada A. Člen sady je uveden v složených závorkách. Například množina prvočísel menší než 10 může být zapsána jako 2, 3, 5, 7. Podobně lze množinu sudých čísel menších než 10 psát jako 2, 4, 6, 8. Hypoteticky mohou její členové reprezentovat téměř jakýkoli konečný soubor.

Co je unie sad?

Spojení dvou sad A a B je definováno jako množina prvků, které patří k A nebo B, případně k oběma. Jednoduše se definuje jako soubor všech odlišných prvků nebo členů, kde členové patří do kterékoli z těchto sad. Operátor unie odpovídá logickému OR a je reprezentován symbolem ∪. Je to nejmenší sada obsahující všechny prvky obou sad. Pokud je například množina A 1, 2, 3, 4, 5 a množina B je 3, 4, 6, 7, 9, pak je spojení A a B reprezentováno A∪B a je zapsáno jako 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Protože čísla 3 a 4 jsou přítomna v obou sadách A a B, není třeba je uvádět dvakrát. Je zřejmé, že počet prvků spojení A a B je menší než součet jednotlivých sad, protože v obou sadách je běžných několik čísel.

A = 1, 3, 5, 7, 9

B = 3, 6, 9, 12, 15

A∪B = 1, 3, 5, 6, 7, 9, 12, 15

Co je průnik sad?

Průsečík dvou sad A a B je definován jako množina prvků, které patří k A i B. Je jednoduše definována jako množina obsahující všechny prvky množiny A, které také patří do množiny B, a podobně všechny prvky množina B patří do množiny A. Operátor křižovatky odpovídá logické AND a je reprezentován symbolem ∩. Naopak, průnik dvou sad je největší sadou obsahující všechny prvky společné oběma sadám. Pokud je například množina A 1, 2, 3, 4, 5 a množina B je 3, 4, 6, 7, 9, potom je průsečík A a B reprezentována A∩B a je zapsána jako 3, 4. Protože pouze čísla 3 a 4 jsou běžná v obou sadách A a B, nazývají se průsečíky sad.

A = 2, 3, 5, 7, 11

B = 1, 3, 5, 7, 9, 11

A∩B = 3, 5, 7, 11

Rozdíl mezi sjednocením a průnikem množin

1. Základní - Spojení dvou sad A a B je definováno jako sada prvků, které patří buď k A nebo B, nebo případně k oběma, zatímco průnik dvou sad je definován jako sada prvků, které patří k A i B.
2. Symbolické znázornění - Spojení dvou sad je reprezentováno symbolem „∪“, zatímco průsečík dvou sad je reprezentován symbolem „∩“.
3. Logická relevance - Spojení dvou sad odpovídá logickému „NEBO“, zatímco průnik dvou sad odpovídá logickému „AND“.
4. Příklad - Nechť A = a, e, i, o, u a

B = a, b, c, d, e, f

A∪B = a, b, c, d, e, f, i, o, u

A∩B = a, e

Spojení vs. průnik: srovnávací tabulka

Shrnutí unie vs. průnik

Jak spojení, tak průnik jsou dvě základní operace, pomocí kterých lze množiny kombinovat a vzájemně propojit. Pokud jde o teorii množin, je unie souborem všech prvků, které jsou buď v sadě, nebo v obou, zatímco průsečík je množina všech odlišných prvků, které patří do obou sad. Spojení dvou sad A a B je symbolizováno jako „A∪B“, zatímco průsečík A a B je symbolizováno jako „A∩B“. Sada není nic jiného než kolekce dobře definovaných objektů, jako jsou čísla a funkce, a objekty v sadě se nazývají prvky.