Rozdíl mezi aritmetickou sekvencí a geometrickou sekvencí

Aritmetická sekvence vs. geometrická sekvence
 

Studium vzorců čísel a jejich chování je důležitou studií v oblasti matematiky. Tyto vzorce jsou často vidět v přírodě a pomáhají nám vysvětlit jejich chování z vědeckého hlediska. Aritmetické sekvence a geometrické sekvence jsou dva ze základních vzorců, které se vyskytují v číslech a často se vyskytují v přírodních jevech.

Posloupnost je sada uspořádaných čísel. Počet prvků v sekvenci může být buď konečný, nebo nekonečný.

Další informace o aritmetické sekvenci (aritmetický postup)

Aritmetická posloupnost je definována jako posloupnost čísel s konstantním rozdílem mezi jednotlivými po sobě jdoucími členy. To je také známé jako aritmetická progrese.

Aritmetická sekvence ⇒ a₁, A₂, A_3, A₄,…, A_n ; kde₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, atd.

Pokud je počáteční termín a₁ a společný rozdíl je d, pak n^tis termín sekvence je dán;

A_n = a₁ + (n-1) d

Tím, že výše uvedený výsledek dále, n^tis termín lze uvést také jako;

A_n = a_m + (n-m) d, kde_m je náhodný termín v sekvenci tak, že n> m.

Sada sudých čísel a sada lichých čísel jsou nejjednoduššími příklady aritmetických sekvencí, kde každá sekvence má společný rozdíl (d) 2.

Počet termínů v sekvenci může být nekonečný nebo konečný. V nekonečném případě (n → ∞) má sekvence tendenci k nekonečnu v závislosti na společném rozdílu (a_n → ± ∞). Pokud je společný rozdíl kladný (d> 0), má sekvence tendenci k pozitivnímu nekonečnu a pokud je společný rozdíl záporný (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Součet termínů v aritmetické posloupnosti je znám jako aritmetická řada: S_n= a₁ + A₂ + A₃ + A₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} A_i; a S_n = (n / 2) (a₁ + A_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] udává hodnotu řady (S_n).

Více informací o geometrické sekvenci (geometrický postup)

Geometrická posloupnost je definována jako posloupnost, ve které je podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů konstantní. Toto je také známé jako geometrická progrese.

Geometrická posloupnost ⇒ a₁, A₂, A₃, A₄,…, A_n; kde₂/A₁ = r, a₃/A₂ = r atd., kde r je skutečné číslo.

Je snazší reprezentovat geometrickou sekvenci pomocí společného poměru (r) a počátečního členu (a). Proto geometrická posloupnost ⇒ a₁, A₁r, a₁r², A₁r³,…, A₁r^n-1.

Obecná podoba n^tis podmínky dané a_n = a₁r^n-1. (Ztráta indexu počátečního termínu ⇒ a_n = ar^n-1)

Geometrická sekvence může být také konečná nebo nekonečná. Pokud je počet termínů konečný, pak se posloupnost považuje za konečnou. A pokud jsou termíny nekonečné, sekvence může být nekonečná nebo konečná v závislosti na poměru r. Společný poměr ovlivňuje mnoho vlastností v geometrických sekvencích. 

r> o	0 < r < +1	Sekvence konverguje - exponenciální rozklad, tj. An → 0, n → ∞
	r = 1	Konstantní sekvence, tj. An = konstantní
	r> 1	Sekvence se liší - exponenciální růst, tj. An → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Posloupnost kmitá, ale konverguje
	r = 1	Sekvence je střídavá a konstantní, tj. An = ± konstanta
	r < -1	Sekvence se střídá a liší se. tj. an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Sekvence je řetězec nul

N.B: Ve všech výše uvedených případech₁ > 0; Pokud₁ < 0, the signs related to a_n bude převrácen.

Časový interval mezi odrazy koule sleduje geometrickou sekvenci v ideálním modelu a jedná se o konvergentní sekvenci.

Součet termínů geometrické sekvence je známý jako geometrická řada; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} arⁱ. Součet geometrické řady lze vypočítat pomocí následujícího vzorce.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); kde a je počáteční člen a r je poměr.

Pokud je poměr r ≤ 1, série konverguje. Pro nekonečnou řadu je hodnota konvergence dána S_n = a / (1-r) 

Jaký je rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou sekvencí / progresí??

• V aritmetické sekvenci mají kterékoli dva po sobě jdoucí termíny společný rozdíl (d), zatímco v geometrické posloupnosti mají kterékoli dva po sobě jdoucí termíny konstantní kvocient (r).

• V aritmetické posloupnosti je změna pojmů lineární, tj. Může být nakreslena přímka procházející všemi body. V geometrické řadě je variace exponenciální; buď roste nebo se rozkládá na základě společného poměru.

• Všechny nekonečné aritmetické sekvence se liší, zatímco nekonečné geometrické řady mohou být buď divergentní, nebo konvergentní.

• Geometrická řada může ukázat oscilaci, pokud je poměr r záporný, zatímco aritmetická řada nevykazuje oscilaci