Rozdíl mezi diskrétní funkcí a spojitou funkcí

Diskrétní funkce vs. spojitá funkce

Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které se široce používají téměř ve všech dílčích oborech matematiky. Jak jejich název napovídá, diskrétní funkce i spojité funkce jsou dva speciální typy funkcí.

Funkce je vztah mezi dvěma množinami definovanými tak, že pro každý prvek v první sadě je hodnota, která odpovídá druhé sadě, jedinečná. Nechat F být funkcí definovanou z množiny A do sady B. Pak pro každé xϵ A, symbol F(x) označuje jedinečnou hodnotu v sadě B to odpovídá x. Nazývá se obrázek x pod F. Proto vztah F od A do B je funkce, pokud a pouze pro, každá xϵ A a y ϵ A; -li x = y pak F(X) = f(y). Sada A se nazývá doména funkce F, a je to sada, ve které je funkce definována.

Zvažte například vztah F od R do R definovaného F(x) = x + 2 pro každého xϵ A. Jedná se o funkci, jejíž doména je R, což pro každé reálné číslo x a y znamená x = y F(x) = x + 2 = y + 2 = F(y). Ale vztah G od N do N definovaného G(x) = a, kde 'a' je hlavní faktor x není funkce jako G(6) = 3, stejně jako G(6) = 2.

Co je to diskrétní funkce?

Diskrétní funkce je funkce, jejíž doména je maximálně spočítatelná. Jednoduše to znamená, že je možné vytvořit seznam, který obsahuje všechny prvky domény.

Jakákoli konečná sada je maximálně spočítatelná. Soubor přirozených čísel a soubor racionálních čísel jsou příklady pro nejvíce spočítatelné nekonečné množiny. Množinu reálných čísel a množinu iracionálních čísel nelze nanejvýš spočítat. Obě sady jsou nespočetné. To znamená, že není možné vytvořit seznam, který obsahuje všechny prvky těchto sad.

Jednou z nejčastějších diskrétních funkcí je faktoriální funkce. F : N U 0 → N rekurzivně definované pomocí F(n) = nF(n-1) pro každé n ≥ 1 a F(0) = 1 se nazývá faktoriální funkce. Všimněte si, že jeho doména N U 0 je nanejvýš spočítatelná.

Co je to spojitá funkce?

Nechat F být funkce taková, že pro každé k v doméně F, F(x) →F(k) jako x → k. Pak Fje spojitá funkce. To znamená, že je možné vyrobit Fx) libovolně blízko Fk) provedením x dostatečně blízko k pro každé k v doméně F.

Zvažte funkci F(x) = x + 2 na R. Je vidět, že jako x → k, x + 2 → k + 2 to je F(x) →F(k). Proto, F je spojitá funkce. Nyní zvažte G na kladných reálných číslech G(x) = 1, pokud x> 0 a G(x) = 0, pokud x = 0. Tato funkce tedy není spojitou funkcí jako limit G(x) neexistuje (a proto není rovno G(0)) jako x → 0.