Rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi

Lineární vs. nelineární diferenciální rovnice
 

Rovnice obsahující alespoň jeden diferenciální koeficient nebo derivát neznámé proměnné je znám jako diferenciální rovnice. Diferenční rovnice může být lineární nebo nelineární. Předmětem tohoto článku je vysvětlit, co je lineární diferenciální rovnice, co je nelineární diferenciální rovnice a jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.

Od vývoje počtu v 18. století matematiky jako Newton a Leibnitz hrály diferenciální rovnice v příběhu matematiky důležitou roli. Diferenciální rovnice mají v matematice velký význam, protože mají široké uplatnění. Diferenciální rovnice jsou jádrem každého modelu, který vyvíjíme, abychom vysvětlili jakýkoli scénář nebo událost na světě, ať už jde o fyziku, strojírenství, chemii, statistiku, finanční analýzu nebo biologii (seznam je nekonečný). Ve skutečnosti, dokud se počet nestal zavedenou teorií, nebyly k dispozici vhodné matematické nástroje pro analýzu zajímavých problémů v přírodě.

Výsledné rovnice ze specifické aplikace počtu mohou být velmi složité a někdy neřešitelné. Existují však některé, které můžeme vyřešit, ale mohou vypadat stejně a matoucí. Proto jsou pro snazší identifikaci diferenciální rovnice roztříděny podle jejich matematického chování. Lineární a nelineární je jednou z těchto kategorií. Je důležité identifikovat rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.

Co je lineární diferenciální rovnice?

Předpokládejme, že f: X → Y a f (x) = y, a diferenciální rovnice bez nelineárních pojmů neznámé funkce y a jeho deriváty jsou známé jako lineární diferenciální rovnice.

To ukládá podmínku, že y nemůže mít vyšší indexové podmínky jako y², y³,… A násobky derivátů, jako je 

Rovněž nemůže obsahovat nelineární pojmy jako Sin y, E^{y^ -2}, nebo ln y. Má formu, 

kde y a G jsou funkce X. Rovnice je diferenciální rovnicí řádu n, což je index derivátu nejvyššího řádu.

V lineární diferenciální rovnici je diferenciálním operátorem lineární operátor a řešení tvoří vektorový prostor. V důsledku lineární povahy sady řešení je lineární kombinace řešení také řešením diferenciální rovnice. To znamená, že y₁ a y₂ jsou tedy řešení diferenciální rovnice C₁ y₁+ C₂ y₂ je také řešením.

Linearita rovnice je pouze jedním parametrem klasifikace a lze ji dále rozdělit na homogenní nebo nehomogenní a obyčejné nebo částečné diferenciální rovnice. Pokud je funkce G= 0 pak je rovnice lineární homogenní diferenciální rovnicí. Li F je funkce dvou nebo více nezávislých proměnných (f: X, T → Y) a f (x, t) = y , pak rovnice je lineární parciální diferenciální rovnice.

Metoda řešení pro diferenciální rovnici závisí na typu a koeficientech diferenciální rovnice. Nejjednodušší případ nastane, když jsou koeficienty konstantní. Klasickým příkladem pro tento případ je Newtonův druhý zákon o pohybu a jeho různé aplikace. Newtonův druhý zákon vytváří lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty.

Co je nelineární diferenciální rovnice?

Rovnice, které obsahují nelineární termíny, se nazývají nelineární diferenciální rovnice.

 

Všechny výše jsou nelineární diferenciální rovnice. Nelineární diferenciální rovnice je obtížné řešit, proto je nutné získat důkladnou studii, abychom získali správné řešení. V případě parciálních diferenciálních rovnic nemá většina rovnic obecné řešení. Proto musí být s každou rovnicí zacházeno nezávisle.

Navier-Stokesova rovnice a Eulerova rovnice v dynamice tekutin, Einsteinovy ​​polní rovnice obecné relativity jsou dobře známé nelineární parciální diferenciální rovnice. Někdy může aplikace Lagrangeovy rovnice na variabilní systém vést k systému nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.

Jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi??

• Diferenční rovnice, která má pouze lineární termíny neznámé nebo závislé proměnné a jejích derivátů, se nazývá lineární diferenciální rovnice. Nemá termín se závislou proměnnou indexu vyšší než 1 a neobsahuje žádný násobek svých derivátů. Nemůže mít nelineární funkce, jako jsou trigonometrické funkce, exponenciální funkce a logaritmické funkce s ohledem na závislou proměnnou. Jakákoli diferenciální rovnice, která obsahuje výše uvedené termíny, je nelineární diferenciální rovnice.

• Řešení lineárních diferenciálních rovnic vytváří vektorový prostor a diferenciální operátor je také lineárním operátorem ve vektorovém prostoru.

• Řešení lineárních diferenciálních rovnic jsou relativně snazší a existují obecná řešení. U nelineárních rovnic ve většině případů obecné řešení neexistuje a řešení může být specifické pro daný problém. Tím je řešení mnohem obtížnější než lineární rovnice.