Rozdíl mezi pravoúhlými a pravoúhlými

Ortogonální vs Orthonormal

V matematice se často používají dvě slova ortogonální a ortonormální spolu se sadou vektorů. Zde se pojem „vektor“ používá v tom smyslu, že se jedná o prvek vektorového prostoru - algebraickou strukturu používanou v lineární algebře. Pro naši diskusi vezmeme v úvahu vnitřní produktový prostor - vektorový prostor PROTI spolu s vnitřním produktem [] definované na PROTI.

Například pro vnitřní produkt je prostor souborem všech trojrozměrných polohových vektorů spolu s obvyklým tečkovým produktem.

Co je ortogonální?

Neprázdná podmnožina S vnitřního prostoru produktu PROTI se říká, že je ortogonální, pokud a pouze pokud pro každého odlišný u, v v S, [u, v] = 0; tj. vnitřní produkt u a proti je rovna nule skaláru ve vnitřním prostoru produktu.

Například v sadě všech trojrozměrných pozičních vektorů je to ekvivalentní říkat, že pro každou odlišnou dvojici pozičních vektorů str a q v S, str a q jsou vzájemně kolmé. (Pamatujte, že vnitřní produkt v tomto vektorovém prostoru je tečkový produkt. Tečkový produkt dvou vektorů je roven 0, a to pouze tehdy, jsou-li oba vektory kolmé k sobě.)

Zvažte soubor S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), což je podmnožina trojrozměrných polohových vektorů. Všimněte si, že (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Proto je sada S je ortogonální. Zejména se uvádí, že dva vektory jsou ortogonální, pokud jejich vnitřní produkt je 0. Proto každý pár vektorů v Sje ortogonální.

Co je ortonormální?

Neprázdná podmnožina S vnitřního prostoru produktu PROTI je řekl, aby byl orthonormal jestliže a jediný jestliže S je ortogonální a pro každý vektor u v S, [u, u] = 1. Proto je vidět, že každá ortonormální množina je ortogonální, ale ne naopak.

Například v sadě všech trojrozměrných pozičních vektorů je to ekvivalentní říkat, že pro každou odlišnou dvojici pozičních vektorů str a q v S, str a q jsou kolmé na sebe a na sebe str v S, | p | = 1. Je to kvůli stavu [p, p] = 1 se snižuje na p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, což odpovídá | p | = 1. Při dané ortogonální množině můžeme tedy vždy vytvořit odpovídající ortonormální množinu vydělením každého vektoru jeho velikostí.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) je ortonormální podmnožina množiny všech trojrozměrných polohových vektorů. Je snadno vidět, že byl získán dělením každého z vektorů v sadě S, podle jejich velikosti.

Jaký je rozdíl mezi ortogonální a ortonormální?

• Neprázdná podmnožina S vnitřního prostoru produktu PROTI se říká, že je ortogonální, pokud a pouze tehdy, pro každý odlišný u, v v S, [u, v] = 0. Je však ortorormální, pokud a pouze pokud je to další podmínka - pro každý vektor u v S, [u, u] = 1 je spokojen.
• Jakákoli ortonormální množina je ortogonální, ale ne naopak.
• Jakákoli ortogonální množina odpovídá jedinečné ortononální sadě, ale ortonormální množina může odpovídat mnoha ortogonálním množinám.