Rozdíl mezi Power Series a Taylor Series

Série Power vs Taylor Series

V matematice je skutečná posloupnost uspořádaným seznamem reálných čísel. Formálně je to funkce od množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel. Li A_nje n^tis termín sekvence, označíme sekvenci pomocí nebo A₁, A₂,…, A_n,… Pro příklad zvažte posloupnost 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,…. Může být označena jako 1 / n.

Je možné definovat řadu pomocí sekvencí. Řada je součtem podmínek sekvence. Proto pro každou sekvenci existuje přidružená sekvence a obráceně. Pokud_n je uvažovaná sekvence, pak série vytvořená touto sekvencí může být reprezentována jako:                                           

 Ve výše uvedeném příkladu je tedy přidružená řada 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Jak jména napovídají, mocninná řada je zvláštním typem řady a je široce používána v numerické analýze a souvisejícím matematickém modelování. Taylorova řada je speciální energetická řada, která poskytuje alternativní a snadno manipulovatelný způsob reprezentace známých funkcí.

Co je řada Power?

Síla moci je série formy

    

což je konvergentní (možná) pro nějaký interval se středem na C. Koeficienty A_n mohou být skutečná nebo komplexní čísla a jsou na nich nezávislá X; tj. proměnná figuríny.

Například nastavením A_n= 1 pro každého n, a C = 0, výkonová řada 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Je získáno. Je snadné pozorovat, že když x ε (-1,1), tato výkonová řada konverguje k 1 / (1-x).          

Výkonová řada konverguje, když X = C. Ostatní hodnoty X pro které se výkonová řada sbíhá, bude mít vždy podobu otevřeného intervalu na střed C. To je, bude hodnota 0≤ R ≤ ∞ takový pro každého X vyhovující | x-c | ≤R, výkonová řada je konvergentní a pro každou X  vyhovující | x-c |>R, výkonová řada se liší. Tato hodnota R se nazývá poloměr konvergence energetické řady (R může mít jakoukoli skutečnou hodnotu nebo pozitivní nekonečno).

Výkonové řady lze přidávat, odečítat, násobit a dělit podle následujících pravidel. Zvažte tyto dvě energetické řady:       

   

                               .

Pak,                 

tj. podobné výrazy se sčítají nebo odečítají společně. Je také možné násobit a rozdělit dvě mocninové řady pomocí identity,

Co je Taylorova řada?

Taylorova řada je definována pro funkci F(X), která je v intervalu nekonečně variabilní. Převzít F(X) je diferencovatelná v intervalu se středem na C. Pak silová řada, která je dána

                                                                                                                                

se nazývá rozšíření funkce Taylorovy řady F(X) o C. (Tady F⁽ⁿ⁾(C) Označují n^tis derivát na X = C). V numerické analýze se konečný počet termínů v této nekonečné expanzi používá při výpočtu hodnot v bodech, kde je řada konvergentní k původní funkci.

Funkce F(X) je považováno za analytické v intervalu (a, b), pokud pro každé x ε (a, b), Taylorova řada F(X) konverguje k funkci F(X). Například 1 / (1-x) je analytický na (-1,1), protože jeho Taylorova expanze 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Konverguje k funkci v tomto intervalu a E^X  je analytická všude, protože Taylorova řada E^Xkonverguje k E^X pro každé skutečné číslo X.

Jaký je rozdíl mezi řadami Power a Taylor?

1. Taylorova řada je zvláštní třída výkonových řad definovaná pouze pro funkce, které jsou nekonečně diferencovatelné v určitém otevřeném intervalu.

2. Taylorova řada má zvláštní podobu

        

zatímco, síla série může být nějaká série formy