Rozdíl mezi definitivními a neurčitými integrály

Matematika je důležitým odvětvím matematiky a diferenciace hraje rozhodující roli v počtu. Inverzní proces diferenciace je známý jako integrace a inverzní je známa jako integrál, nebo jednoduše řečeno, inverzní diferenciace dává integrál. Na základě výsledků, které produkují, jsou integrály rozděleny do dvou tříd viz., Definitivní a neurčité integrály.

Definitivní integrál

Definitivní integrál f (x) je NUMBER a představuje oblast pod křivkou f (x) z x = a na x = b.

Určitý integrál má horní a dolní mez integrálů a nazývá se definitivní, protože na konci problému máme číslo - je to definitivní odpověď.

Neurčitá integrální

Neurčitý integrál f (x) je FUNKCE a odpovídá na otázku: „Co funguje, když diferencovaný dává f (x)?“

S neurčitým integrálem zde neexistují žádné horní a dolní limity integrálu a to, co dostaneme, je odpověď, která má Xje v něm a bude mít také konstantu (obvykle označovanou jako C).

Neurčitý integrál obvykle dává obecné řešení diferenciální rovnice.

Neurčitý integrál je spíše obecnou formou integrace a může být interpretován jako anti-derivát uvažované funkce.

Předpokládejme diferenciaci funkce F vede k další funkci F, a integrace f dává integrálu. Symbolicky je to psáno jako

F (x) = ∫ƒ (x) dx

nebo

F = ∫ƒ dx

kde oba F a ƒ jsou funkce X, a F je rozlišitelná. Ve výše uvedené podobě se nazývá Reimannův integrál a výsledná funkce doprovází libovolnou konstantu.

Neurčitý integrál často produkuje rodinu funkcí; integrál je proto neurčitý.

Integrály a integrační proces jsou jádrem řešení diferenciálních rovnic. Na rozdíl od kroků v diferenciaci však integrační kroky ne vždy sledují jasnou a standardní rutinu. Občas vidíme, že řešení nemůže být výslovně vyjádřeno z hlediska elementární funkce. V takovém případě je analytické řešení často dáno formou neurčitého integrálu.

Základní věta o počtu

Definitivní a neurčitý integrál jsou spojeny základním teorémem počtu takto: Pro výpočet určitý integrál, najít neurčitý integrál (také známý jako anti-derivát) funkce a hodnotit v koncových bodech x = a a x = b.

Rozdíl mezi určitými a neurčitými integrály bude patrný, jakmile vyhodnotíme integrály pro stejnou funkci.

Zvažte následující integrál:

OK. Udělejme oba a uvidíme rozdíl.

Pro integraci musíme přidat jeden do indexu, který nás vede k následujícímu výrazu:

V tuto chvíli C je pro nás jen konstantou. V tomto problému jsou potřebné další informace k určení přesné hodnoty C.

Vyhodnotíme stejný integrál ve své konečné podobě, tj. S horní a dolní mezí.

Graficky řečeno nyní počítáme oblast pod křivkou f (x) = y³ mezi y = 2 a y = 3.

První krok v tomto hodnocení je stejný jako neurčité integrální hodnocení. Jediným rozdílem je, že tentokrát nepřidáváme konstantu C.

Výraz v tomto případě vypadá takto:

To je zase vede k:

V podstatě jsme ve výrazu nahradili 3 a pak 2 a získali jsme mezi nimi rozdíl.

Toto je určitá hodnota na rozdíl od použití konstanty C dříve.

Pojďme prozkoumat konstantní faktor (s ohledem na neurčitý integrál) podrobněji.

Pokud je rozdíl y³ je 3y², pak

∫3y²dy = y³

nicméně, 3y² může být rozdíl mnoha výrazů, z nichž některé zahrnují y³-5, y³+7, atd. To znamená, že obrácení není jedinečné, protože konstanta není během operace započítávána.

Takže obecně, 3y² je rozdíl y³+C kde C je jakákoli konstanta. Mimochodem, C je známý jako „konstanta integrace“.

Píšeme to jako:

∫ 3y².dx = y³ + C

Integrační techniky pro neurčitý integrál, jako je vyhledávání tabulek nebo Rischova integrace, mohou během procesu integrace přidat nové diskontinuity. Tyto nové diskontinuity se objevují, protože anti-deriváty mohou vyžadovat zavedení komplexních logaritmů.

Složité logaritmy mají skokovou diskontinuitu, když argument překročí negativní skutečnou osu a integrační algoritmy někdy nemohou najít reprezentaci, kde tyto skoky zruší.

Pokud je určitý integrál vyhodnocen nejprve výpočtem neurčitého integrálu a následným nahrazením integračních hranic do výsledku, musíme si uvědomit, že neurčitá integrace může vést k nespojitosti. Pokud ano, musíme navíc prozkoumat diskontinuity v integračním intervalu.