Rozdíl mezi racionálními a iracionálními čísly

Pojem „čísla“ nám přináší to, co je obecně klasifikováno jako kladné celé číslo větší než nula. Jiné třídy čísel zahrnují celá čísla a zlomky, komplex a reálná čísla a také záporné celé hodnoty.

S dalším rozšířením klasifikace čísel se setkáváme Racionální a iracionální čísla. Racionální číslo je číslo, které lze zapsat jako zlomek. Jinými slovy, racionální číslo lze napsat jako poměr dvou čísel.

Zvažte například číslo 6. Lze ji psát jako poměr dvou čísel viz. 6 a 1, což vede k poměru 6/1. Rovněž, 2/3, který je psán jako zlomek, je racionální číslo.

Můžeme tedy definovat racionální číslo jako číslo zapsané ve formě zlomku, přičemž jak čitatel (číslo nahoře), tak jmenovatel (číslo dole) jsou celá čísla. Podle definice je tedy každé celé číslo také racionálním číslem.

Poměr dvou velkých čísel, jako je (129 367 871)/(547,724,863) by také představovalo příklad racionálního čísla z jednoduchého důvodu, že čitatel i jmenovatel jsou celá čísla.

A naopak, jakékoli číslo, které nelze vyjádřit ve formě zlomku nebo poměru, se nazývá iracionální. Nejčastěji citovaným příkladem iracionálního čísla je √2 (1,414213…). Dalším populárním příkladem iracionálního čísla je numerická konstanta π (3,141592… ).

Iracionální číslo lze psát jako desetinné číslo, ale ne jako zlomek. Iracionální čísla se v každodenním životě často nepoužívají, přestože na číselné řadě existují. Mezi nimi je nekonečné množství iracionálních čísel 0 a 1 na číselném řádku. Iracionální číslo má nekonečné neopakující se číslice vpravo od desetinné čárky.

Všimněte si, že často uváděná hodnota 22/7 pro konstantu π je ve skutečnosti pouze jedna z hodnot π. Obvod kružnice dělený dvojnásobkem jejího poloměru je z definice hodnotou π. To vede k více hodnotám π, včetně, ale bez omezení na, 333/106, 355/113 a tak dále1.

Pouze druhá odmocnina čísel čtverců; tj. čtvercové kořeny perfektní čtverce jsou racionální.

√1= 1 (Racionální)

√2 (Iracionální)

√3 (Iracionální)

√4 = 2 (Racionální)

√5, √6, √7, √8 (Iracionální)

√9 = 3 (Racionální) a tak dále.

Dále poznamenáváme, že pouze nkořeny nTyto síly jsou racionální. Tak, 6 kořen 64 je racionální, protože 64 je 6 moc, jmenovitě 6 síla 2. Ale 6 kořen 63 je iracionální. 63 není dokonalý 6tis Napájení.

Desetinná reprezentace iracionů nevyhnutelně přichází do obrazu a přináší některé zajímavé výsledky.

Když vyjádříme a Racionální číslo jako desetinné číslo, pak bude buď desetinné číslo přesný (jako v 1/5= 0,20) nebo bude nepřesný (jako v, 1/3 ≈ 0,3333). V obou případech bude předvídatelný vzorec číslic. Všimněte si, že když iracionální číslo je vyjádřeno jako desetinné číslo, pak to bude jednoznačně nepřesné, protože jinak by číslo bylo racionální.

Navíc nebude existovat předvídatelný vzorec číslic. Například,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nyní, s racionálními čísly, se občas setkáváme 1/11 = 0,0909090.

Použití obou znaménka rovnosti (=) a tři tečky (elipsa) znamená, že ačkoli není možné vyjádřit 1/11 přesně jako desetinné číslo, můžeme jej stále přiblížit s tolika desetinnými místy, kolik je možné přiblížit 1/11.

Desetinná podoba 1/11 je považován za nepřesný. Stejným znakem je desetinná forma  ¼ což je 0,25, je přesný.

Pokud jde o desítkové číslo pro iracionální čísla, budou vždy nepřesná. Pokračování příkladu √2, když píšeme √2 = 1,41421356237… (Všimněte si použití elipsy), okamžitě to znamená, že žádné desetinné místo pro √2 bude přesný. Dále nebude existovat předvídatelný vzorec číslic. S využitím konceptů z numerických metod můžeme opět racionálně aproximovat tolik desetinných míst, až do bodu, kdy jsme blízko √2.

Jakákoli poznámka o racionálních a iracionálních číslech nemůže skončit bez povinného důkazu, proč je √2 iracionální. Přitom také objasňujeme klasický příklad a důkaz pokračovánímradiace.

Předpokládejme, že √2 je racionální. To nás vede k tomu, abychom jej reprezentovali jako poměr dvou celých čísel str a q.

√2 = p / q

netřeba říkat, str a q nemají žádné společné faktory, protože kdyby existovaly nějaké společné faktory, zrušili bychom je z čitatele a jmenovatele.

S oběma stranami rovnice skončíme,

2 = p2 / q2

To lze pohodlně napsat jako,

str2 = 2q2

Poslední rovnice naznačuje, že str2 je sudá. To je možné, pouze pokud str sám je sudý. To zase znamená, že str2 je dělitelná 4. Proto, q2 a následně q musí být sudá. Tak str a q jsou dokonce v rozporu s naším původním předpokladem, že nemají žádné společné faktory. Tím pádem, √2 nemůže být racionální. Q.E.D.