Rozdíl mezi kardinálními čísly a řadovými čísly

Kardinál vs. ordinál 
 

V našem každodenním životě může mít použití čísel v různých situacích různé formy. Například, když počítáme, abychom zjistili velikost kolekce objektů, počítáme je jako jeden, dva, tři atd. Když chceme něco spočítat, abychom získali smysl pro polohu objektů, spočítáme je jako první, druhý, třetí atd. V první formě počítání jsou čísla označována jako kardinální čísla. Ve druhé formě počítání jsou čísla považována za pořadová čísla. V této souvislosti jsou kardinální a ordinální pojmy zcela věcí lingvistiky; kardinál a ordinál jsou přídavná jména.

Rozšíření pojmu na množiny v matematice však odhaluje mnohem hlubší a širší perspektivu a nelze s nimi zacházet jednoduše. V tomto článku se pokusíme porozumět základním pojmům kardinálních a ordinálních čísel v matematice.

Formální definice kardinálních a pořadových čísel jsou uvedeny v teorii množin. Definice jsou složité a jejich porozumění v dokonalém smyslu vyžaduje znalost pozadí v teorii množin. Proto se obrátíme k několika příkladům, abychom heuristicky porozuměli konceptům.

Zvažte dvě sady 1,3,6,4,5,2 a autobus, auto, trajekt, vlak, letadlo, vrtulník. Každá sada obsahuje sadu prvků, a pokud spočítáme počet prvků, je zřejmé, že každý má stejný počet prvků, což je 6. Při tomto závěru jsme vzali velikost jedné sady a porovnali jsme ji s jinou pomocí číslo. Takové číslo se nazývá kardinální číslo. Můžeme tedy říci, že kardinální číslo je číslo, které můžeme použít k porovnání velikosti konečných množin.

První skupina čísel může být opět uspořádána ve vzestupném pořadí s ohledem na velikost každého prvku a jejich porovnání. V procesu objednávání jsou čísla považována za kardinály. Podobně lze sadu všech nezáporných celých čísel uspořádat do sady; tj. 0,1,2,3,4, .... V tomto případě se však velikost souboru stane nekonečnou a není možné jej dávat v podobě ordinálů. Nezáleží na tom, jak velké číslo vyberete, aby dalo velikost sady, stále zůstanou čísla z vybrané sady a která jsou nezáporná celá čísla.

Proto matematici definují tento nekonečný kardinál (který je první) jako Aleph-0, psaný jako א (první písmeno v hebrejské abecedě). Formálně pořadové číslo je typ objednávky dobře uspořádané množiny. Proto může být pořadové číslo konečných množin dáno kardinálními čísly, ale pro nekonečné množiny je ordinální dáno transfinitovými čísly, jako je Aleph-0..

Jaký je rozdíl mezi kardinálními a řadovými čísly??

• Kardinální číslo je číslo, které lze použít k počítání nebo k zadání velikosti konečně uspořádané sady. Všechna hlavní čísla jsou pořadová čísla.

• Pořadová čísla jsou čísla, která se používají k určení velikosti konečných i nekonečných uspořádaných sad. Velikost konečných uspořádaných sad je dána obvyklými hindusko-arabskými algebraickými číslicemi a nekonečná velikost sady je dána transfinitovými čísly.