Rozdíl mezi deriváty a diferenciály

Derivace vs. diferenciální
 

V diferenciálním počtu jsou derivace a diferenciální funkce úzce spjaty, ale mají velmi odlišné významy a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických objektů souvisejících s diferencovatelnými funkcemi.

Co je derivát?

Derivace funkce měří rychlost, jakou se hodnota funkce mění se změnou jejího vstupu. U funkcí s více proměnnými závisí změna funkční hodnoty na směru změny hodnot nezávislých proměnných. Proto je v takových případech zvolen specifický směr a funkce je v tomto konkrétním směru diferencovaná. Tento derivát se nazývá směrový derivát. Částečné deriváty jsou zvláštním druhem směrových derivátů.

Derivace funkce s vektorovou hodnotou F lze definovat jako limit kdekoli to existuje konečně. Jak již bylo zmíněno, dává nám to rychlost nárůstu funkce F podél směru vektoru u. V případě funkce s jednou hodnotou se toto sníží na známou definici derivátu,  

Například, je všude diferencovatelná a derivát se rovná limitu, , což se rovná . Derivace funkcí, jako je   existují všude. Jsou příslušně stejné jako funkce .                                                                                

Toto je známé jako první derivát. Obvykle první derivát funkce F je označen F ⁽¹⁾. Nyní pomocí této notace je možné definovat deriváty vyššího řádu. je derivát směrových derivátů druhého řádu a označuje n^tis derivát od F ⁽ⁿ⁾ pro každého n, ,  definuje n^tis derivát.

Co je rozdílné?

Diferenciál funkce představuje změnu funkce vzhledem ke změnám v nezávislé proměnné nebo proměnných. V obvyklém zápisu pro danou funkci F jedné proměnné X, celkový rozdíl řádu 1 df je dána, . To znamená, že pro nekonečnou změnu v X(tj. dX), bude  F ⁽¹⁾(XdX změna v F.

Použitím limitů lze s touto definicí skončit následovně. Předpokládejme ∆X je změna v X na libovolném místě X a ∆F je odpovídající změna funkce F. Lze ukázat, že ∆f = f ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, kde ϵ je chyba. Nyní je limit ∆x →0^∆F/_∆X= F ⁽¹⁾(X) (pomocí výše uvedené definice derivátu), a tedy,x →0^ϵ/_∆X= 0. Proto je možné dojít k závěru, že ∆x →0ϵ = 0. Nyní označující ∆x →0 ∆F jako dF a ∆x →0 ∆X jako dX definice rozdílu je důsledně získána. 

Například rozdíl funkce je .

V případě funkcí dvou nebo více proměnných je celkový diferenciál funkce definován jako suma diferenciálů ve směrech každé z nezávislých proměnných. Matematicky to může být uvedeno jako .