Rozdíl mezi deriváty a integrály

Derivace vs. integrál

Diferenciace a integrace jsou dvě základní operace v programu Calculus. Mají četné aplikace v několika oborech, jako je matematika, strojírenství a fyzika. Derivace i integrál diskutují o chování funkce nebo chování fyzické entity, o které nás zajímá.

Co je derivát?

Předpokládejme, že y = ƒ (x) a x₀ je v doméně ƒ. Pak lim_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx se nazývá okamžitá rychlost změny ƒ při x₀, pokud tento limit existuje konečně. Tento limit se také nazývá derivát v a je označen ƒ (x).

Hodnota derivace funkce F na libovolném místě X v oblasti funkce je dán lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Toto je označeno kterýmkoli z následujících výrazů: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_Xy.

Pro funkce s několika proměnnými definujeme parciální derivaci. Částečný derivát funkce s několika proměnnými je jeho derivát vzhledem k jedné z těchto proměnných, za předpokladu, že ostatní proměnné jsou konstanty. Symbolem částečného derivátu je ∂.

Geometricky lze derivát funkce interpretovat jako sklon křivky funkce ƒ (x).

Co je integrální?

Integrace nebo antidiferenciace je opačný proces diferenciace. Jinými slovy, jedná se o proces nalezení původní funkce, když je dána derivace funkce. Proto integrál nebo anti-derivát funkce ƒ (x) if, ƒ (x) =F(x) lze definovat jako funkci F(x), pro všechna x v doméně ƒ (x).

Výraz ∫ƒ (x) dx označuje derivaci funkce ƒ (x). Pokud ƒ (x) =F(x), potom ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, kde C je konstanta, ∫ƒ (x) dx se nazývá neurčitý integrál ƒ (x).

Pro každou funkci ƒ, která nemusí být nutně nezáporná a definovaná v intervalu [a, b], _A∫^bƒ (x) dx se nazývá definitivní integrál ƒ na [a, b].

Definitivní integrál _A∫^bƒ (x) dx funkce ƒ (x) lze geometricky interpretovat jako oblast oblasti ohraničené křivkou ƒ (x), osou x a přímkami x = a a x = b.