Rozdíl mezi diferenciací a derivátem

Diferenciace vs. derivát
 

V diferenciálním počtu jsou derivace a diferenciace úzce spjaty, ale velmi odlišné a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických konceptů souvisejících s funkcemi.

Co je derivát?

Derivace funkce měří rychlost, jakou se hodnota funkce mění se změnou jejího vstupu. U funkcí s více proměnnými závisí změna funkční hodnoty na směru změny hodnot nezávislých proměnných. Proto je v takových případech zvolen specifický směr a funkce je v tomto konkrétním směru diferencovaná. Tento derivát se nazývá směrový derivát. Částečné deriváty jsou zvláštním druhem směrových derivátů.

Derivace funkce s vektorovou hodnotou F lze definovat jako limit kdekoli to existuje konečně. Jak již bylo zmíněno, dává nám to rychlost nárůstu funkce F podél směru vektoru u. V případě funkce s jednou hodnotou se toto sníží na známou definici derivátu,  

Například, je všude diferencovatelná a derivát se rovná limitu, , což se rovná . Derivace funkcí, jako je   existují všude. Jsou příslušně stejné jako funkce .                                                                                

Toto je známé jako první derivát. Obvykle první derivát funkce F je označen F ⁽¹⁾. Nyní pomocí této notace je možné definovat deriváty vyššího řádu. je derivát směrových derivátů druhého řádu a označuje n^tis derivát od F ⁽ⁿ⁾ pro každého n, ,  definuje n^tis derivát.

Co je diferenciace?

Diferenciace je proces nalezení derivátu diferencovatelné funkce. Operátor D označen D představuje diferenciaci v některých kontextech. Li X je tedy nezávislá proměnná D ≡ ^d/_dx. D-operátor je lineární operátor, tj. Pro jakoukoli dvě diferencovatelné funkce F a G a konstantní C, Následující vlastnosti platí.

Já.  D(F + g) = D(F) + D (g)

II.  D(srov) = CD(F )

Použitím D-operátora lze další pravidla spojená s diferenciací vyjádřit následovně. D(F g) = D(F ) G +f D(G) , D(^F/_G) = ^{[D(F ) G - f D(G)]}/_G² a D(F  Ó G) = (D(F) o G) D (G).

Například když F (X) = X²hřích X je rozlišen s ohledem na X při použití stanovených pravidel bude odpověď 2Xhřích X -+ X²cosX.