Rozdíl mezi Fourierovou řadou a Fourierovou transformací

Fourierova řada vs Fourierova transformace

Fourierova řada rozkládá periodickou funkci na součet sinic a kosinů s různými frekvencemi a amplitudami. Fourierova řada je odvětvím Fourierovy analýzy a představil ji Joseph Fourier. Fourierova transformace je matematická operace, která přeruší signál na jeho základní frekvence. Původní signál, který se měnil v čase, se nazývá reprezentace signálu v časové doméně. Fourierova transformace se nazývá reprezentace signálu ve frekvenční doméně, protože závisí na frekvenci. Reprezentace signálu ve frekvenční doméně i proces použitý k transformaci tohoto signálu do frekvenční domény se označují jako Fourierova transformace.

Co je Fourierova řada?

Jak již bylo zmíněno dříve, Fourierova řada je rozšíření periodické funkce pomocí nekonečného součtu sinic a kosinů. Fourierova řada byla původně vyvinuta při řešení tepelných rovnic, ale později bylo zjištěno, že stejná technika může být použita k řešení velkého množství matematických problémů, zejména problémů, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Nyní, Fourierova řada má aplikace ve velkém počtu oborů včetně elektrotechniky, analýzy vibrací, akustiky, optiky, zpracování signálu, zpracování obrazu, kvantové mechaniky a ekonometrie. Fourierovy řady používají ortogonální vztahy sinusových a kosinových funkcí. Výpočet a studium Fourierovy řady je známo jako harmonická analýza a je velmi užitečné při práci s libovolnými periodickými funkcemi, protože umožňuje rozbít funkci jednoduchými pojmy, které lze použít k získání řešení původního problému..

Co je Fourierova transformace?

Fourierova transformace definuje vztah mezi signálem v časové doméně a jeho reprezentací ve frekvenční doméně. Fourierova transformace rozkládá funkci na oscilační funkce. Protože se jedná o transformaci, lze původní signál získat z poznání transformace, takže se v procesu nevytváří ani neztratí žádná informace. Studium Fourierovy řady vlastně poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci. Kvůli vlastnostem sinusů a kosinů je možné získat zpět částku každé vlny přispívající k součtu pomocí integrálu. Fourierova transformace má některé základní vlastnosti, jako je linearita, translace, modulace, škálování, konjugace, dualita a konvoluce. Fourierova transformace se používá při řešení diferenciálních rovnic, protože Fourierova transformace úzce souvisí s Laplaceovou transformací. Fourierova transformace se také používá v nukleární magnetické rezonanci (NMR) a v jiných druzích spektroskopie.

Rozdíl mezi Fourierovou řadou a Fourierovou transformací

Fourierova řada je expanze periodického signálu jako lineární kombinace sinic a kosinů, zatímco Fourierova transformace je proces nebo funkce používaná pro převod signálů z časové domény do frekvenční domény. Fourierova řada je definována pro periodické signály a Fourierova transformace může být aplikována na aperiodické (vyskytující se bez periodicity) signály. Jak bylo zmíněno výše, studium Fourierovy řady skutečně poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci.