Rozdíl mezi integrací a sumací

Integrace vs shrnutí

V matematice na střední škole se integrace a sumace často vyskytují v matematických operacích. Jsou zdánlivě používány jako různé nástroje a v různých situacích, ale sdílejí velmi blízký vztah.

Více o shrnutí

Sčítání je operace přidání sekvence čísel a operace je často označována řeckým písmenem sigma letter. Používá se ke zkrácení součtu a rovná se součtu / součtu sekvence. Často se používají k reprezentaci řady, která je v podstatě součtem nekonečných sekvencí. Mohou být také použity k označení součtu vektorů, matic nebo polynomů.

Sumace se obvykle provádí pro řadu hodnot, které mohou být reprezentovány obecným termínem, jako je řada, která má běžný termín. Počáteční bod a konečný bod sumace jsou známé jako dolní a horní hranice sumace.

Například součet posloupnosti a₁, A₂, A₃, A₄, …, A_n je₁ + A₂+ A₃+… + A_n které lze snadno reprezentovat pomocí sumačního zápisu jako ∑ⁿ_{i = 1} A_i; i se nazývá index sumace.

Pro shrnutí na základě aplikace se používá mnoho variací. V některých případech lze horní a dolní hranici udat jako interval nebo rozsah, například ∑_{1 A_i a ∑_{i∈ [1 100]} A_i. Nebo to lze zadat jako množinu čísel jako ∑_i∈P A_i , kde P je definovaná množina.}

V některých případech mohou být použity dva nebo více sigma znaků, ale mohou být zobecněny následovně; ∑_j ∑_kA_jk= ∑_{j, k} A_jk.

Sumace se také řídí mnoha algebraickými pravidly. Protože vložená operace je sčítání, mnoho běžných pravidel algebry lze aplikovat na samotné částky a na jednotlivé termíny zobrazené sumací.

Více o integraci

Integrace je definována jako reverzní proces diferenciace. Ve svém geometrickém pohledu však může být také považována za oblast ohraničenou křivkou funkce a osy. Proto výpočet oblasti udává hodnotu určitého integrálu, jak je znázorněno na obrázku.

Zdroj obrázku: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Hodnota určitého integrálu je ve skutečnosti součtem malých proužků uvnitř křivky a osy. Plocha každého pruhu je výška × šířka v bodě uvažované osy. Šířka je hodnota, kterou si můžeme vybrat, řekněme ∆x. A výška je přibližně hodnota funkce v uvažovaném bodě, řekněme F(X_i). Z grafu je zřejmé, že čím menší jsou proužky, tím lépe se proužky vejdou do ohraničené oblasti, takže je lepší aproximace hodnoty.

Obecně tedy definitivní integrál Já, mezi body aab (tj. v intervalu [a, b], kde aJá ≅ F(X₁) ∆x + F(X₂) ∆x + ⋯ + F(X_n) ∆x, kde n je počet proužků (n = (b-a) / ∆x). Toto shrnutí oblasti lze snadno vyjádřit pomocí notace sumace jako Já ≅ ∑ⁿ_{i = 1}F(X_i) ∆x. Protože je aproximace lepší, když je ∆x menší, můžeme vypočítat hodnotu, když ∆x → 0. Proto je rozumné říci Já = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} F(X_i) ∆x.

Jako zobecnění z výše uvedeného konceptu si můžeme vybrat ∆x na základě uvažovaného intervalu indexovaného i (výběr šířky oblasti na základě pozice). Pak se dostaneme

Já= lim_{∆x → 0}∑ⁿ_{i = 1} F(X_i) ∆x_i = _A∫^bF(x) dx

Toto je známé jako Reimannův integrál funkce F(x) v intervalu [a, b]. V tomto případě aab jsou známé jako horní a dolní hranice integrálu. Integrál Reimanna je základní formou všech integračních metod.

Integrace je v podstatě sumarizací oblasti, když je šířka obdélníku nekonečná.

Jaký je rozdíl mezi integrací a shrnutím?

• Sumace spočítá posloupnost čísel. Sumace se obvykle uvádí v této podobě ∑ⁿ_{i = 1}A_i když výrazy v sekvenci mají vzor a lze je vyjádřit pomocí obecného termínu.

• Integrace je v zásadě oblast ohraničená křivkou funkce, osou a horním a dolním limitem. Tato oblast může být dána jako součet mnohem menších oblastí zahrnutých do ohraničené oblasti.

• Sumace zahrnuje diskrétní hodnoty s horní a dolní mezí, zatímco integrace zahrnuje spojité hodnoty.

• Integraci lze interpretovat jako zvláštní formu sumace.

• V metodách numerického výpočtu je integrace vždy prováděna jako sumarizace.

Věda a příroda