Rozdíl mezi Laplaceovou a Fourierovou transformací

Laplace vs Fourierovy transformace
 

Laplaceova transformace i Fourierova transformace jsou integrální transformace, které se nejčastěji používají jako matematické metody k řešení matematicky modelovaných fyzických systémů. Tento proces je jednoduchý. Složitý matematický model je převeden na jednodušší, řešitelný model pomocí integrální transformace. Jakmile je vyřešen jednodušší model, je použita inverzní integrální transformace, která by poskytla řešení původnímu modelu.

Například protože většina fyzických systémů vede k diferenciálním rovnicím, lze je pomocí integrální transformace převést na algebraické rovnice nebo na snadno řešitelné diferenciální rovnice s nižším stupněm. Poté bude řešení problému snazší.

Co je Laplaceova transformace?

Vzhledem k funkci F (t) skutečné proměnné t, jeho Laplaceova transformace je definována integrálem (kdykoli existuje), což je funkce komplexní proměnné s. Obvykle se označuje L F (t). Inverzní Laplaceova transformace funkce F(s) se považuje za funkci F (t) takovým způsobem, že L F (t) = F(s) a v obvyklém matematickém zápisu píšeme, L ^-1F(s) = F (t).Inverzní transformace může být jedinečná, pokud nejsou povoleny nulové funkce. Je možné tyto dva identifikovat jako lineární operátory definované ve funkčním prostoru, a je také snadné to vidět, L ^-1L F (t) = F (t), pokud nejsou povoleny nulové funkce.

Následující tabulka uvádí Laplaceovy transformace některých nejběžnějších funkcí.

Co je Fourierova transformace?

Vzhledem k funkci F (t) skutečné proměnné t, jeho Laplaceova transformace je definována integrálem (pokaždé, když existuje), a je obvykle označen F F (t). Inverzní transformace F ^-1F(a) je dáno integrálem . Fourierova transformace je také lineární a lze ji považovat za operátora definovaného ve funkčním prostoru.

S použitím Fourierovy transformace lze původní funkci psát následovně za předpokladu, že funkce má pouze konečný počet diskontinuit a je absolutně integrovatelná.

Jaký je rozdíl mezi Laplace a Fourierovou transformací??

• Fourierova transformace funkce F (t) je definováno jako , zatímco její transformace je definována jako .
• Fourierova transformace je definována pouze pro funkce definované pro všechna reálná čísla, zatímco Laplaceova transformace nevyžaduje, aby byla funkce definována na záporných reálných číslech.
• Fourierova transformace je zvláštním případem Laplaceovy transformace. Je vidět, že oba se shodují pro nezáporná reálná čísla. (tj. vzít s v Laplace být iα + p kde a a p jsou takové skutečné E ^p= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Každá funkce, která má Fourierovu transformaci, bude mít Laplaceovu transformaci, ale ne naopak.