Rozdíl mezi lineární a nelineární rovnicí

Lineární rovnice vs. nelineární rovnice

V matematice jsou algebraické rovnice rovnice, které jsou vytvářeny pomocí polynomů. Když jsou explicitně napsány, budou rovnice ve tvaru P (X) = 0, kde X je vektor n neznámých proměnných a P je polynom. Například P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 je algebraická rovnice ve dvou proměnných psaných explicitně. (X + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ je algebraická rovnice, ale v implicitní podobě a bude mít tvar Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, jednou explicitně napsáno.

Důležitou charakteristikou algebraické rovnice je její stupeň. Je definována jako nejvyšší síla výrazů vyskytujících se v rovnici. Pokud se termín skládá ze dvou nebo více proměnných, bude součet exponentů každé proměnné považován za sílu daného výrazu. Všimněte si, že podle této definice je P (x, y) = 0 stupně 5, zatímco Q (x, y, z) = 0 je stupně 5.

Lineární rovnice a nelineární rovnice jsou dva oddíly definované na množině algebraických rovnic. Stupeň rovnice je faktor, který je odlišuje od sebe navzájem.

Co je to lineární rovnice?

Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1. Například 4x + 5 = 0 je lineární rovnice jedné proměnné. x + y + 5z = 0 a 4x = 3w + 5y + 7z jsou lineární rovnice 3 a 4 proměnných. Obecně bude mít lineární rovnice n proměnných tvar m₁X₁ + m₂X₂ +… + M_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Zde x_ijsou neznámé proměnné, m_i'a ab jsou reálná čísla, kde každé z m_i je nenulová.

Taková rovnice představuje hyper rovinu v n-dimenzionálním euklidovském prostoru. Zejména dvě variabilní lineární rovnice představuje přímou linii v karteziánské rovině a tři variabilní lineární rovnice představuje rovinu na euklidovské 3-prostoru.

Co je nelineární rovnice?

Kvadratická rovnice je algebraická rovnice, která není lineární. Jinými slovy, nelineární rovnice je algebraická rovnice stupně 2 nebo vyšší. X² + 3x + 2 = 0 je jednoduchá proměnná nelineární rovnice. X² + y³+ 3xy = 4 a 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 jsou příklady nelineárních rovnic 3 a 4 proměnných.

Nelineární rovnice druhého stupně se nazývá kvadratická rovnice. Pokud je stupeň 3, pak se nazývá krychlová rovnice. Rovnice stupně 4 a 5 se nazývají kvartické a kvintické rovnice. Bylo prokázáno, že neexistuje analytická metoda pro řešení nelineární rovnice stupně 5, a to platí i pro vyšší stupeň. Řešitelné nelineární rovnice představují hyper plochy, které nejsou hyper rovinami.