Rozdíl mezi lineární a kvadratickou rovnicí

Lineární rovnice vs. kvadratická rovnice

V matematice jsou algebraické rovnice rovnice vytvořené pomocí polynomů. Když jsou explicitně napsány, budou rovnice ve tvaru P (X) = 0, kde X je vektor n neznámých proměnných a P je polynom. Například P (x, y) = x⁴ + y³ + X²y + 5 = 0 je algebraická rovnice dvou explicitně napsaných proměnných. (X + y)³= 3x²y - 3zy⁴ je algebraická rovnice, ale v implicitní podobě. Bude mít tvar Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, jednou explicitně napsáno.

Důležitou charakteristikou algebraické rovnice je její stupeň. Je definována jako nejvyšší síla výrazů vyskytujících se v rovnici. Pokud se termín skládá ze dvou nebo více proměnných, bude součet exponentů každé proměnné považován za sílu daného výrazu. Všimněte si, že podle této definice je P (x, y) = 0 stupně 4, zatímco Q (x, y, z) = 0 je stupně 5.

Lineární rovnice a kvadratické rovnice jsou dva různé typy algebraických rovnic. Stupeň rovnice je faktor, který je odlišuje od zbytku algebraických rovnic.

Co je to lineární rovnice?

Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1. Například 4x + 5 = 0 je lineární rovnice jedné proměnné. x + y + 5z = 0 a 4x = 3w + 5y + 7z jsou lineární rovnice 3 a 4 proměnných. Obecně bude mít lineární rovnice n proměnných tvar m₁X₁ +m₂X₂ +… + M_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Zde x_ijsou neznámé proměnné, m_i'a ab jsou reálná čísla, kde každé z m_i je nenulová.

Taková rovnice představuje hyper rovinu v n-dimenzionálním euklidovském prostoru. Zejména dvě variabilní lineární rovnice představuje přímou linii v karteziánské rovině a tři variabilní lineární rovnice představuje rovinu na euklidovské 3-prostoru.

Co je to kvadratická rovnice?

Kvadratická rovnice je algebraická rovnice druhého stupně. X² + 3x + 2 = 0 je jednoduchá proměnná kvadratická rovnice. X² + y² + 3x = 4 a 4x² + y² + 2z² + x + y + z = 4 jsou příklady kvadratických rovnic 2 a 3 proměnných.

V případě jedné proměnné je obecnou formou kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0. Kde a, b, c jsou reálná čísla, z nichž 'a' je nenulová. Diskriminační ∆ = (b² - 4ac) určuje povahu kořenů kvadratické rovnice. Kořeny rovnice budou reálné zřetelné, skutečné podobné a složité, protože ∆ je kladné, nulové a záporné. Kořeny rovnice lze snadno najít pomocí vzorce x = (- b ± √∆) / 2a.

V případě dvou proměnných by obecná podoba byla sekera² + podle² + cxy + dx + ex + f = 0, a to představuje kónický tvar (parabola, hyperbola nebo elipsa) v karteziánské rovině. Ve vyšších dimenzích tento typ rovnic představuje hyperplochy známé jako kvadriky.