Rozdíl mezi logaritmickým a exponenciálním

Logaritmický vs. exponenciální | Exponenciální funkce vs. logaritmická funkce
 

Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které se široce používají téměř ve všech podoblastech matematiky. Jak jejich jména naznačují, exponenciální funkce a logaritmická funkce jsou dvě speciální funkce.

Funkce je vztah mezi dvěma množinami definovanými tak, že pro každý prvek v první sadě je hodnota, která odpovídá druhé sadě, jedinečná. Nechť ƒ je funkce definovaná z množiny A do sady B. Pak pro každé x ϵ A, symbol ƒ (x) označuje jedinečnou hodnotu v sadě B to odpovídá x. Nazývá se obrázek x pod ƒ. Proto vztah ƒ z A do B je funkce, pokud a pouze tehdy, pro každé xϵ A a y ϵ A, pokud x = y, pak ƒ (x) = ƒ (y). Sada A se nazývá doména funkce ƒ a je to sada, ve které je funkce definována.

Co je exponenciální funkce?

Exponenciální funkce je funkce daná ƒ (x) = e^X, kde e = lim (1 + 1 / n) ⁿ (≈ 2,718 ...) a je transcendentální iracionální číslo. Jednou ze zvláštností funkce je to, že derivát funkce se rovná sobě samému; tj. když y = e^X, dy / dx = e^X. Funkce je také všude spojitá rostoucí funkce mající osu x jako asymptotu. Funkce je tedy také individuální. Pro každé x ϵ R, máme to e^X> 0 a lze ukázat, že je na R⁺. Rovněž se řídí základní identitou^{x + y} = e^X.E^y a e⁰ = 1. Funkci lze také reprezentovat pomocí rozšíření série daným 1 + x / 1! + x²/ 2! + x³/ 3! +… + Xⁿ/ n! +…

Co je logaritmická funkce?

Logaritmická funkce je inverzní funkcí exponenciální funkce. Vzhledem k tomu, exponenciální funkce je one-to-one a na R⁺, funkce g může být definována ze sady kladných reálných čísel do sady reálných čísel daných g (y) = x, pokud a pouze tehdy, y = e^X. Tato funkce g se nazývá logaritmická funkce nebo nejčastěji jako přirozený logaritmus. Označuje se g (x) = log e^X = ln x. Protože se jedná o inverzní funkci exponenciální funkce, vezmeme-li odraz grafu exponenciální funkce přes čáru y = x, budeme mít graf logaritmické funkce. Funkce je tedy asymptotická k ose y.

Logaritmická funkce se řídí některými základními pravidly, z nichž ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y a ln xy = y ln x jsou nejdůležitější. To je také rostoucí funkce a je všude kontinuální. Proto je také individuální. Lze ukázat, že je na R.