Rozdíl mezi vzájemně se vylučujícími a nezávislými událostmi

Vzájemně exkluzivní vs nezávislé události

Lidé často zaměňují koncept vzájemně se vylučujících událostí s nezávislými událostmi. Ve skutečnosti se jedná o dvě různé věci.

Nechť A a B jsou jakékoli dvě události spojené s náhodným experimentem E. P (A) se nazývá „Pravděpodobnost A“. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost B jako P (B), pravděpodobnost A nebo B jako P (A∪B) a pravděpodobnost A a B jako P (A∩B). Pak P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Dvě události se však považují za vzájemně se vylučující, pokud výskyt jedné události neovlivní druhou. Jinými slovy, nemohou se vyskytovat současně. Pokud se tedy dvě události A a B vzájemně vylučují, pak A∩B = ∅ a tedy, což znamená P (A∪B) = P (A) + P (B).

Nechť A a B jsou ve vzorkovém prostoru dvě události. Podmíněná pravděpodobnost A, vzhledem k tomu, že k B došlo, je označena P (A | B) a je definována jako; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), za předpokladu, že P (B)> 0. (jinak není definována.)

Událost A je považována za nezávislou na události B, pokud pravděpodobnost, že nastane, není ovlivněna tím, zda došlo nebo ne. Jinými slovy, výsledek události B nemá žádný vliv na výsledek události A. Proto P (A | B) = P (A). Podobně je B nezávislá na A, pokud P (B) = P (B | A). Můžeme tedy dojít k závěru, že pokud A a B jsou nezávislé události, pak P (A∩B) = P (A) .P (B)

Předpokládejme, že číslovaná krychle je svinuta a spravedlivá mince je převrácena. Nechť A je událost, která získá hlavu a B je událost, která hodí sudé číslo. Pak můžeme dojít k závěru, že události A a B jsou nezávislé, protože tento výsledek jednoho neovlivňuje výsledek druhého. Proto P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Protože P (A∩B) ≠ 0, A a B se nemohou vzájemně vylučovat.

Předpokládejme, že urna obsahuje 7 bílých kuliček a 8 černých kuliček. Definujte událost A jako kresbu bílého mramoru a událost B jako kresbu černého mramoru. Za předpokladu, že každý mramor bude nahrazen po zaznamenání jeho barvy, pak P (A) a P (B) budou vždy stejné, bez ohledu na to, kolikrát čerpáme z urny. Výměna kuliček znamená, že se pravděpodobnost nemění z remízy na remízu, bez ohledu na to, jakou barvu jsme vybrali při posledním losování. Proto jsou události A a B nezávislé.

Pokud však byly kuličky vykresleny bez náhrady, všechno se změní. Za tohoto předpokladu nejsou události A a B nezávislé. Kreslení bílého mramoru poprvé změní pravděpodobnost nakreslení černého mramoru na druhém tahu a tak dále. Jinými slovy, každé losování má vliv na další losování, takže jednotlivé losování nejsou nezávislé.