Rozdíl mezi funkcí distribuce pravděpodobnosti a funkcí hustoty pravděpodobnosti

Funkce rozdělení pravděpodobnosti vs. funkce hustoty pravděpodobnosti

Pravděpodobnost je pravděpodobnost, že se událost stane. Tato myšlenka je velmi běžná a často se používá v každodenním životě, když posuzujeme naše příležitosti, transakce a mnoho dalších věcí. Rozšíření tohoto jednoduchého konceptu na větší soubor událostí je o něco náročnější. Například nemůžeme snadno zjistit šance na výhru v loterii, ale je vhodné, spíše intuitivní, říci, že existuje pravděpodobnost, že jeden ze šesti bude, že dostaneme číslo šest v hození kostkami.

Když počet událostí, které mohou nastat, se zvětšuje nebo počet individuálních možností je velký, tato poměrně jednoduchá představa pravděpodobnosti selže. Proto se musí dostat k pevné matematické definici, než přistoupí k problémům s vyšší složitostí.

Je-li počet událostí, které se mohou odehrávat v jedné situaci, velký, je nemožné považovat každou událost jednotlivě, jako v příkladu hozené kostky. Celá skupina událostí je tedy shrnuta zavedením pojmu náhodné proměnné. Je to proměnná, která může předpokládat hodnoty různých událostí v dané konkrétní situaci (nebo vzorovém prostoru). Dává matematický smysl jednoduchým událostem v dané situaci a matematický způsob řešení události. Přesněji řečeno, náhodná proměnná je funkce skutečné hodnoty nad prvky prostoru vzorku. Náhodné proměnné mohou být buď diskrétní, nebo spojité. Obvykle jsou označována velkými písmeny anglické abecedy.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti (nebo jednoduše rozdělení pravděpodobnosti) je funkce, která přiřazuje hodnoty pravděpodobnosti pro každou událost; tj. poskytuje vztah k pravděpodobnostem hodnot, které může náhodná proměnná nabrat. Funkce rozdělení pravděpodobnosti je definována pro diskrétní náhodné proměnné.

Funkce hustoty pravděpodobnosti je ekvivalentem funkce rozdělení pravděpodobnosti pro spojité náhodné proměnné, dává pravděpodobnost, že určitá náhodná proměnná zaujme určitou hodnotu.

Li X je diskrétní náhodná proměnná, funkce daná jako F(X) = P(X = X) pro každého X v rozmezí X se nazývá funkce distribuce pravděpodobnosti. Funkce může sloužit jako funkce rozdělení pravděpodobnosti pouze tehdy, pokud funkce splňuje následující podmínky.

1. F(X) ≥ 0

2. ∑ F(X) = 1

Funkce F(X), která je definována přes množinu reálných čísel, se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X, pokud a jen tehdy,

P(A ≤ X ≤ b) = _A∫^b F(X) dx pro všechny skutečné konstanty A a b.

Funkce hustoty pravděpodobnosti by měla splňovat i následující podmínky.

1. F(X) ≥ 0 pro všechny X: -∞ < X < +∞

2. _-∞∫^+∞ F(X) dx = 1

Funkce distribuce pravděpodobnosti i funkce hustoty pravděpodobnosti se používají k reprezentaci distribuce pravděpodobností v prostoru vzorku. Obvykle se nazývají distribuce pravděpodobnosti.

Pro statistické modelování jsou odvozeny standardní funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce distribuce pravděpodobnosti. Normální rozdělení a standardní normální rozdělení jsou příklady kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti. Binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení jsou příklady diskrétních distribucí pravděpodobnosti.

Jaký je rozdíl mezi distribucí pravděpodobnosti a funkcí hustoty pravděpodobnosti?

• Funkce distribuce pravděpodobnosti a funkce hustoty pravděpodobnosti jsou funkce definované ve vzorku, které přiřazují příslušnou hodnotu pravděpodobnosti každému prvku.

• Funkce rozdělení pravděpodobnosti jsou definovány pro diskrétní náhodné proměnné, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti jsou definovány pro spojité náhodné proměnné.

• Rozdělení hodnot pravděpodobnosti (tj. Rozdělení pravděpodobnosti) se nejlépe zobrazuje pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce rozdělení pravděpodobnosti.

• Funkce distribuce pravděpodobnosti může být reprezentována jako hodnoty v tabulce, ale to není možné pro funkci hustoty pravděpodobnosti, protože proměnná je spojitá.

• Při vykreslování funkce distribuce pravděpodobnosti dává sloupcový graf, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti dává křivku.

• Výška / délka sloupců funkce rozdělení pravděpodobnosti se musí přidat k 1, zatímco plocha pod křivkou funkce hustoty pravděpodobnosti se musí přidat k 1.

• V obou případech musí být všechny hodnoty funkce nezáporné.