Rozdíl mezi Riemann Integral a Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrace je hlavním tématem v počtu. V broderském smyslu lze integraci chápat jako obrácený proces diferenciace. Při modelování problémů v reálném světě je snadné psát výrazy obsahující deriváty. V takové situaci je integrační operace nutná k nalezení funkce, která poskytla konkrétní derivaci.

Z jiného úhlu je integrace proces, který shrnuje produkt funkce ƒ (x) a δx, kde δx má sklon být určitým limitem. Z tohoto důvodu používáme integrační symbol jako ∫. Symbol ∫ je ve skutečnosti to, co získáme natažením písmen s tak, aby odkazovaly na součet.

Riemann Integral

Zvažte funkci y = ƒ (x). Integrál y mezi A a b, kde A a b patří do množiny x, je zapsán jako _b∫^Aƒ (x) dx = [F(X)]_A→b = F(b) - F(A). Toto se nazývá určitý integrál jedné hodnotné a spojité funkce y = ƒ (x) mezi a a b. Tím se získá plocha pod křivkou mezi A a b. Tomu se také říká Riemannův integrál. Riemannův integrál vytvořil Bernhard Riemann. Riemannův integrál spojité funkce je založen na jordánském měřítku, proto je také definován jako limit Riemannových součtů funkce. Pro skutečné hodnoty definované v uzavřeném intervalu Riemannův integrál funkce s ohledem na oddíl x₁, X₂,… , X_n definované v intervalu [a, b] at₁, t₂,…, T_n, kde x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} pro každé i ε 1, 2,…, n je Riemannova suma definována jako Σ_{i = o až n-1} ƒ (t_i)(X_{i + 1} - X_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue je další typ integrálu, který pokrývá celou řadu případů než Riemannův integrál. Lebesgue integrál byl představen Henri Lebesgue v 1902. Legesgue integrace může být považována za zobecnění Riemann integrace.

Proč potřebujeme studovat jiného integrálu?

Uvažujme charakteristickou funkci ƒ_{A (x) = 0 jestliže, x ne ε A}^{1 jestliže, x ε A} na množině A. Pak konečná lineární kombinace charakteristických funkcí, která je definována jako F(x) = Σ a_iƒE_i(x) se nazývá jednoduchá funkce, pokud E_i je měřitelná pro každé i. Lebesgueův integrál F(x) přes E je označen _E∫ ƒ (x) dx. Funkce F(x) není Riemann integrovatelný. Lebesgueův integrál je proto přeformulován Riemannův integrál, který má určitá omezení funkcí, které mají být integrovány.