Rozdíl mezi asociativními a komutativními
Share
Asociativní vs. komutativní
V našem každodenním životě musíme čísla používat vždy, když potřebujeme něco získat. V obchodě s potravinami, na benzínové pumpě a dokonce i v kuchyni musíme přidat, odečíst a znásobit dvě nebo více množství. Z naší praxe provádíme tyto výpočty bez námahy. Nikdy si nevšimneme ani nezpochybňujeme, proč tyto operace děláme tímto konkrétním způsobem. Nebo proč tyto výpočty nelze provést jinak. Odpověď je skryta ve způsobu, jakým jsou tyto operace definovány v matematickém poli algebry.
V algebře je operace zahrnující dvě veličiny (například sčítání) definována jako binární operace. Přesněji se jedná o operaci mezi dvěma prvky ze sady a tyto prvky se nazývají „operand“. Mnoho operací v matematice, včetně aritmetických operací uvedených výše a operací, se kterými se setkáváme v teorii množin, lineární algebry a matematické logiky, lze definovat jako binární operace.
Existuje určitá řídící pravidla vztahující se ke konkrétní binární operaci. Asociativní a komutativní vlastnosti jsou dvě základní vlastnosti binárních operací.
Více o komutativním vlastnictví
Předpokládejme, že na prvcích se provádí nějaká binární operace označená symbolem ⊗ A a B. Pokud pořadí operandů neovlivňuje výsledek operace, pak se operace považuje za komutativní. tj. pokud A ⊗ B = B ⊗ A pak je operace komutativní.
Aritmetické operace sčítání a násobení jsou komutativní. Pořadí čísel sečtených nebo vynásobených dohromady nemá vliv na konečnou odpověď:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Ale v případě rozdělení rozdělení v pořadí dává vzájemné druhé a v odčítání změna dává záporné druhé. Proto,
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 a 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 a 5 ÷ 4 = 1,25 [v tomto případě A,B ≠ 1 a 0]
Ve skutečnosti je odčítání považováno za anti-komutativní; kde A - B = - (B - A).
Logické spojky, spojení, disjunkce, implikace a ekvivalence jsou také komutativní. Funkce pravdy jsou také komutativní. Nastavené operace spojení a průnik jsou komutativní. Sčítání a skalární součin vektorů jsou také komutativní.
Ale vektorový odčítání a vektorový produkt nejsou komutativní (vektorový produkt dvou vektorů je antikomutativní). Sčítání matic je komutativní, ale násobení a odčítání nejsou komutativní. (Násobení dvou matic může být ve zvláštních případech komutativní, jako je násobení matice s inverzní maticí nebo maticí identity; matice však rozhodně nejsou komutativní, pokud matice nejsou stejné velikosti)
Více o asociativním vlastnictví
Binární operace je považována za asociativní, pokud pořadí provedení nemá vliv na výsledek, když jsou přítomny dva nebo více výskytů operátora. Zvažte prvky A, B a C a binární operace ⊗. Operace ⊗ je považována za asociativní, pokud
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Ze základních aritmetických funkcí je asociativní pouze sčítání a násobení.
A + (B + C) = (A + B) + C 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Odčítání a dělení nejsou asociativní;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5 - 3) = 2 a (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C 4 4 (5-3) = 2,4 a (5 4) 3 = 0,2666
Logická spojovací disjunkce, konjunkce a ekvivalence jsou asociativní, stejně tak spojení operací a průniků množin. Matice a přidání vektoru jsou asociativní. Skalární produkt vektorů je asociativní, ale vektorový produkt není. Maticové násobení je asociativní pouze za zvláštních okolností.
Jaký je rozdíl mezi komutativními a asociativními vlastnostmi??
• Asociativní vlastnost i komutativní vlastnost jsou speciální vlastnosti binárních operací a některé je uspokojují a některé ne..
• Tyto vlastnosti lze vidět v mnoha formách algebraických operací a dalších binárních operací v matematice, jako je průnik a sjednocení v teorii množin nebo logické spojky.
• Rozdíl mezi komutativní a asociativní je v tom, že komutativní vlastnost uvádí, že pořadí prvků nemění konečný výsledek, zatímco asociativní stavy, že pořadí, ve kterém se operace provádí, neovlivňuje konečnou odpověď..
