Rozdíl mezi náhodnými proměnnými a distribucí pravděpodobnosti

Náhodné proměnné vs rozdělení pravděpodobnosti

Statistické experimenty jsou náhodné experimenty, které lze opakovat neurčitě se známým souborem výsledků. S takovými experimenty jsou spojeny náhodné proměnné i rozdělení pravděpodobnosti. Pro každou náhodnou proměnnou existuje přidružené rozdělení pravděpodobnosti definované funkcí nazývanou funkce kumulativního rozdělení.

Co je náhodná proměnná?

Náhodná proměnná je funkce, která přiřazuje číselné hodnoty k výsledkům statistického experimentu. Jinými slovy, je to funkce definovaná ze vzorkovacího prostoru statistického experimentu do množiny reálných čísel.

Zvažte například náhodný experiment dvojitého převržení mince. Možné výsledky jsou HH, HT, TH a TT (H - hlavy, T - příběhy). Nechť proměnná X je počet hlav pozorovaných v experimentu. Potom může X vzít hodnoty 0, 1 nebo 2 a je to náhodná proměnná. Náhodná proměnná X zde namapuje množinu S = HH, HT, TH, TT (vzorový prostor) na množinu 0, 1, 2 tak, že HH je mapována na 2, HT a TH jsou mapovány na 1 a TT je mapovány na 0. Ve funkčním zápisu to lze napsat jako: X: S → R, kde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 a X ( TT) = 0.

Existují dva typy náhodných proměnných: diskrétní a spojitý, podle toho počet možných hodnot, které může náhodná proměnná předpokládat, je nanejvýš spočítatelný nebo ne. V předchozím příkladu je náhodná proměnná X diskrétní náhodná proměnná, protože 0, 1, 2 je konečná množina. Nyní zvažte statistický experiment nalezení hmotnosti studentů ve třídě. Nechť Y je náhodná proměnná definovaná jako hmotnost studenta. Y může mít jakoukoli skutečnou hodnotu v určitém intervalu. Y je tedy spojitá náhodná proměnná.

Co je rozdělení pravděpodobnosti?

Distribuce pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná vezme určité hodnoty.

Funkce zvaná kumulativní distribuční funkce (F) může být definována od množiny reálných čísel do množiny reálných čísel jako F (x) = P (X ≤ x) (pravděpodobnost X je menší nebo rovna x) pro každý možný výsledek x. Nyní lze funkci kumulativního rozdělení X v prvním příkladu zapsat jako F (a) = 0, pokud a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

V případě diskrétních náhodných proměnných lze funkci definovat od množiny možných výstupů do množiny reálných čísel tak, že ƒ (x) = P (X = x) (pravděpodobnost X se rovná x) pro každý možný výsledek x. Tato konkrétní funkce ƒ se nazývá pravděpodobnostní hmotnostní funkce náhodné proměnné X. Nyní lze pravděpodobnostní hmotnostní funkci X v prvním konkrétním příkladu psát jako ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 a ƒ (x) = 0 jinak. Funkce pravděpodobnostní hmotnosti tedy spolu s funkcí kumulativního rozdělení bude popisovat rozdělení pravděpodobnosti X v prvním příkladu.

V případě spojitých náhodných proměnných lze funkci nazvanou funkci hustoty pravděpodobnosti (ƒ) definovat jako ƒ (x) = dF (x) / dx pro každé x, kde F je kumulativní distribuční funkce spojité náhodné proměnné. Je snadno vidět, že tato funkce splňuje ∫ƒ (x) dx = 1. Funkce hustoty pravděpodobnosti spolu s funkcí kumulativního rozdělení popisuje rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné. Například normální rozdělení (což je kontinuální rozdělení pravděpodobnosti) je popsáno pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ)²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).